Rompiendo el quinto postulado, la aparición de las geometrías no euclidianas

Euclides de Alejandría, geómetra griego autor de los Elementos.

La geometría es una ciencia que fundamentalmente trata de describir el espacio, como seres vivos una de las interacciones básicas que tenemos con la realidad, si no es que la más importante, es precisamente nuestra percepción del espacio en el que vivimos. Es por eso que la geometría fue una de las primeras ciencias en nacer y desarrollarse, las primeras civilizaciones lograron generar conocimiento geométrico que fue esencial para la supervivencia de sus sociedades.

En la historia de las matemáticas hay un nombre especialmente importante, muy probablemente la primera persona en asentar los procesos que utilizamos para trabajar el conocimiento matemático, el padre de la geometría, el gran Euclides de Alejandría. Poco o nada se sabe sobre su vida, vivió en el siglo III a.C. y aportó a la humanidad una colección de trece libros, un tratado acerca de todo el conocimiento que se tenía hasta esa época de la geometría bidimensional y tridimensional: los Elementos.

Un dato relevante para entender la importancia de los Elementos de Euclides, es que sólo existe una obra con un mayor número de publicaciones, la Biblia. Es cierto que muchos de los conocimientos que Euclides comparte en sus libros eran resultados que ya se habían obtenido, la genialidad de Euclides consiste en la síntesis y presentación de todo este saber. En esta obra se presenta el modelo por excelencia del quehacer matemático, primero se dan algunas definiciones básicas y se introducen una serie de axiomas o postulados, con base en estos, realizando construcciones auxiliares y haciendo uso de razonamientos lógicos, se llega a nuevos resultados que van construyendo una teoría completa.

Todas las propiedades de las figuras geométricas que conocemos desde la educación primaria, se pueden deducir haciendo uso de estos postulados. A continuación presentamos los famosos cinco postulados de Euclides:

1. Cualesquiera dos puntos en el espacio, determinan un segmento de recta.

2. Cualquier segmento de recta, se puede extender indefinidamente en una línea recta.

3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una línea recta corta a otras dos, y la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado es menor que dos ángulos rectos, entonces al prolongarlas estas dos rectas se cortan en el lado donde se suman menos de dos ángulos rectos.

Representación gráfica de los postulados de la geometría plana.

Estas fueron las reglas del juego para Euclides, hechos que se aceptan sin necesidad de demostración y que todos, o casi todos, parecen bastante intuitivos. Se puede observar claramente que el quinto postulado parece un poco más complicado que los otros cuatro. Una manera equivalente y más popular de enunciar el quinto postulado es la siguiente; "Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una y solo una paralela a esta recta".

La clara disparidad entre el quinto postulado y los primeros cuatro volvió locos a los matemáticos durante más de dos mil años, motivados por la sensación de que este axioma podía ser deducido de los primeros 4, intentaron demostrarlo sin éxito durante mucho tiempo. El mismo Euclides parecía entender la situación, pudo desarrollar muchos de los resultados más generales sin hacer mención alguna al quinto postulado.

La "solución" a este problema empezó a vislumbrarse en el siglo XIX, supuestamente Gauss fue el primero en abordar exitosamente el problema, pero al no haber evidencia, el reconocimiento lo obtuvieron otros dos geómetras que desarrollaron el trabajo independientemente: Bolyai y Lobachevsky.

Para resolver esta situación, introdujeron una negación del quinto postulado, pensaron que en vez de que por un punto exterior a una recta pudiera pasar una sola paralela, lo podían hacer muchas, con esta idea y esperando que la introducción de esta idea llevará a contradicciones lógicas en la teoría, se podía entender el problema de la dependencia del quinto postulado.

El resultado fue completamente inesperado, agregando este "nuevo" postulado se obtenía una teoría completamente consistente, internamente lógica y con predicciones distintas de la geometría de Euclides, había nacido la geometría hiperbólica.

No sólo eso, después se estudio el caso en donde por un punto exterior a una recta no pasara ninguna paralela, la conclusión de esta idea, la geometría esférica también es consistente y muchos de sus resultados son de una practicidad increíble para la navegación y la astronomía.

Visualización de triángulos en la geometría esférica e hiperbólica respectivamente.

Además de la geometría hiperbólica y la esférica, la negación del quinto postulado abrió las puertas para el estudio de muchas geometrías nuevas, convirtiendo así a la geometría plana de Euclides en un caso particular solamente, el más intuitivo quizá, pero muy probablemente ni siquiera sea el más descriptivo de nuestro Universo. La historia del quinto postulado de Euclides es un ejemplo maravilloso de que cualquier teoría, por establecida que parezca, puede presentar puntos flacos y que dar por sentadas las cosas, es el obstáculo más grande en el camino del saber.